Principio de inducción. Ejercicio 12

Alejandro nos resuelve el ejercicio 12

 

Demuestra que la suma a_n= es divisible por 133 cualquiera que sea el nº entero n>=0

→

1) Compruebo que da para n=1

3059=133 x p

P=

Compruebo que da para n=2

263473=133 x p

P=1981

2) Supongo que se cumple para cualquier n y demuestro que también para n+1

* 11 – 11*

133p *11 +

133p* 11 +

133p* 11 +

133(p * 11 + )

QUEDA DEMOSTRADO QUE ES MÚLTIPLO.

Resuelto por Alejandro Fernández, 4ºESO B

Principio de inducción. Ejercicio 7

Roberto nos resuelve el problema 7:

7. Demostrar que para cualquier número natural n,la suma de tres números sucesivos elevados al cubo sea divisible entre 9.

Compruebo para n = 1.

1³ + 2³+ 3³ =1+8+27= 36 que es divisible por 9

Y, suponiendo que la propiedad es cierta para r = 1, es decir, que r³+ (r+1) ³+ (n+2) ³ es divisible por 9.

n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³ = a, a entre 9 es igual a (x) y el resto es igual a 0.

Hay que probar que se cumple para r = r + 1.

(n + 1) ³ + (n + 2) ³+ (n + 3) ³ = (n + 1) ³ + (n + 2) ³ + n³ + 9n² + 27n + 27 =

= [n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³] + 9(n² + 3n + 3) = 9a + 9(n²+ 3n + 3)

Que es múltiplo de 9, y la propiedad es cierta para n = n+1. Entonces, por el principio de inducción Matemática, la propiedad es verdadera para cualquier número natural.

Resuelto por Roberto Alonso, 4ºESO B

Principio de Inducción. Ejercicio 2

Nacho nos explica como resolver el ejercicio 2

Demostrar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a:

1- Demuestro que se cumple para n=1

n=1 1²=1

n=2

n=3

2- Como suponemos que es verdad comprobamos demostrando con n+1

Iremos por partes:

Empecemos con la parte sin fracción:

Por lo que queda:

Hacemos el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores que da seis

Resolvemos paréntesis

El resultado de una de las partes de la ecuación es : . vamos a resolver la otra parte de la ecuación y si nos da igual que esta la formula se cumple

Empecemos resolviendo los paréntesis:

Como en el mcm da seis al dividir 6:6 da 1 y el uno lo multiplicamos por toda la expresión

Como da lo mismo se cumple la formula

CQD (como queda demostrado)

Realizado por Nacho Oquillas, 4ºESO C 

Principio de Inducción. Ejercicio 1

Miguel nos explica el ejercicio 1:

Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que:

1º Comprobamos que se cumple para n=1

n= 1 → 1=1

n=2 → 2=2

2º Suponemos que es verdad paran n y demuestro también es para n+1

↓

↓

↓

↓

C.Q.D (Se cumple)

Realizado por Miguel Ribeiro, 4ºESO B

Principio de inducción. Ejercicio 15

Noé nos resuelve el ejercicio 15

Demuestra que:

siendo a > 0

1º Compruebo que se cumple para n=1

Sustituimos por n=1, y comprobamos que la inecuación se cumple:

(1+a)^1 ≥ 1+a

1+a ≥ 1+a

y también para n=2

(1+a)²≥1+2a

1+2a + a²≥ 1+2a porque a > 0 así que a^2 > 0

Como se cumple, continuamos con nuestro ejercicio.

2º Suponemos que se cumple para n, y demostramos n+1

Sustituimos las n de la fórmula por n+1 y buscamos una forma de comprobar que se cumple.

- Podemos resolverlo de dos formas:

Procedimiento 1.- La suma en el exponente es igual a un producto con la misma base, así que:

Sabemos que así que tenemos que comparar (1+a) y a. Como por el enunciado a > 0, entonces 1+a>a obligatoriamente.

Por lo que al ser , y (1+a) > a; esto implica que es verdad que

Procedimiento 2.-

Sabemos que , por lo que (porque al ser, si multiplicamos un número cualquiera como en un lado de la inecuación, habrá que hacerlo en el otro.)

· Operamos estos dos: =

· Sacamos factor común a de los dos términos del medio

· , por lo que al ser mayor o igual que , que era mayor o igual que , va a ser aún mayor o igual que . De forma que queda demostrado por principio de inducción con n+1.

Resuelto por Noé Carabias, 4ºESO C