Principio de Inducción. Ejercicio 16

Celia nos ayuda a resolver el ejercicio 16
-Demuestra que para cualquier n se cumple que:

1º.) Demostramos que se cumple para n=1
n=1 (Sustituimos la "n” por 1)

(Comprobamos que es correcto)
-----------
n=2 (Sustituimos la “n” por 2)

(Comprobamos que es correcto)
----------
n=3 (Sustituimos la “n” por 3)

(Comprobamos que es correcto)
2º) Suponemos que es verdad para “n” y lo demostramos para “n+1”
- Para ello, en el lado derecho de la igualdad, sustituimos la “n” por “n+1”. En el lado izquierdo, también sustituimos la “n” por “n+1” y añadimos el número combinatorio

Sustituimos la “n” por “n+1”              Añado         Sustituimos la “n” por “n+1”

*Aplico la propiedad de los números combinatorios:

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- Ejemplos


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(Finalmente, mediante el principio de inducción, comprobamos que también se cumple la igualdad para “n+1”)
Celia González Moreno (4ºC-E.S.O.)

Principio de Inducción. Ejercicio 21

Álvaro nos resuelve el ejercicio 21

21._Demuestra, usando el principio de inducción matemático que para cualquier número se cumple:

(expresamos que es múltiplo de 9 porque es 9 por un número desconocido “p”)

1º Compruebo que se cumple para n=1

se cumple

se cumple

2º Suponiendo que se cumple para n y es verdad demuestro que también para n+1.

Ahora es el momento de despejar:

Si nos fijamos en la primera igualdad que nos dan podemos despejar 2n:

Una vez despejado el 2n lo único que hay que hacer es sustituir por donde ibamos, es decir, nos hemos quedado aquí:

Pues lo único que hay que hacer es sustituir 2n por lo que nos ha dado antes al despejarlo y nos queda:

Seguimos operando y nos queda que:

A continuación sacamos factor común

Ya hemos demostrado que es múltiplo de 9.

C.Q.D

Principio de Inducción. Ejercicio 5

5. Demuestra que la suma de los primeros n números impares es

1º) Primero comprobamos que se cumple para n=1.

Probamos con n=1

n=1 → 1=1 → SE CUMPLE. Podemos observar que al sustituir la n por 1, el resultado es el mismo que el primero número impar. Entonces, se cumple para n=1.

Probemos con n=2, a ver si también se cumple.

n=2→ 1+3=4

==4 También se cumple. Al sumar los dos primeros números impares, el resultado es igual que . Al sustituir por n=2, sería , que resulta ser 4. Entonces, el resultado de es igual a la suma de los dos primeros números impares.

Con n=3 ocurre lo mismo. Se suman los tres primeros números impares, y la se sustituye por 3.

n=3 → 1+3+5=9

==9

Se cumple.

2º) Suponiendo que se cumple para n, demostramos que también lo hace para n+1.

= sucesión de nº impares.

Lo podríamos demostrar directamente sabiendo que la sucesión de los números impares se trata de una sucesión aritmética.

=1

=3

=9

Utilizando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética.

No obstante, ahora lo demuestro también por inducción:

Supongo que es cierto para los primeros n términos:

y trato de demostrar que se cumple para n+1:

operando:

Como
, sustituyo y me queda:

El primer término de la igualdad se corresponde con el resultado de una igualdad notable, el binomio al cuadrado, por lo que efectivamente, da

c.q.d.

Resuelto por Paula Maldonado, 4ºESO C