Estadística

Los alumnos de tercero de la eso ya tienen disponible el enlace para el trabajo de Estadística. La fecha es para 3ºA.

Principio de inducción. Ejercicio 12

Alejandro nos resuelve el ejercicio 12

 

Demuestra que la suma a_n= es divisible por 133 cualquiera que sea el nº entero n>=0

→

1) Compruebo que da para n=1

3059=133 x p

P=

Compruebo que da para n=2

263473=133 x p

P=1981

2) Supongo que se cumple para cualquier n y demuestro que también para n+1

* 11 – 11*

133p *11 +

133p* 11 +

133p* 11 +

133(p * 11 + )

QUEDA DEMOSTRADO QUE ES MÚLTIPLO.

Resuelto por Alejandro Fernández, 4ºESO B

Principio de inducción. Ejercicio 7

Roberto nos resuelve el problema 7:

7. Demostrar que para cualquier número natural n,la suma de tres números sucesivos elevados al cubo sea divisible entre 9.

Compruebo para n = 1.

1³ + 2³+ 3³ =1+8+27= 36 que es divisible por 9

Y, suponiendo que la propiedad es cierta para r = 1, es decir, que r³+ (r+1) ³+ (n+2) ³ es divisible por 9.

n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³ = a, a entre 9 es igual a (x) y el resto es igual a 0.

Hay que probar que se cumple para r = r + 1.

(n + 1) ³ + (n + 2) ³+ (n + 3) ³ = (n + 1) ³ + (n + 2) ³ + n³ + 9n² + 27n + 27 =

= [n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³] + 9(n² + 3n + 3) = 9a + 9(n²+ 3n + 3)

Que es múltiplo de 9, y la propiedad es cierta para n = n+1. Entonces, por el principio de inducción Matemática, la propiedad es verdadera para cualquier número natural.

Resuelto por Roberto Alonso, 4ºESO B

Principio de Inducción. Ejercicio 2

Nacho nos explica como resolver el ejercicio 2

Demostrar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a:

1- Demuestro que se cumple para n=1

n=1 1²=1

n=2

n=3

2- Como suponemos que es verdad comprobamos demostrando con n+1

Iremos por partes:

Empecemos con la parte sin fracción:

Por lo que queda:

Hacemos el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores que da seis

Resolvemos paréntesis

El resultado de una de las partes de la ecuación es : . vamos a resolver la otra parte de la ecuación y si nos da igual que esta la formula se cumple

Empecemos resolviendo los paréntesis:

Como en el mcm da seis al dividir 6:6 da 1 y el uno lo multiplicamos por toda la expresión

Como da lo mismo se cumple la formula

CQD (como queda demostrado)

Realizado por Nacho Oquillas, 4ºESO C 

Principio de Inducción. Ejercicio 1

Miguel nos explica el ejercicio 1:

Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que:

1º Comprobamos que se cumple para n=1

n= 1 → 1=1

n=2 → 2=2

2º Suponemos que es verdad paran n y demuestro también es para n+1

↓

↓

↓

↓

C.Q.D (Se cumple)

Realizado por Miguel Ribeiro, 4ºESO B