Principio de inducción. Ejercicio 7

Roberto nos resuelve el problema 7:

7. Demostrar que para cualquier número natural n,la suma de tres números sucesivos elevados al cubo sea divisible entre 9.

Compruebo para n = 1.

1³ + 2³+ 3³ =1+8+27= 36 que es divisible por 9

Y, suponiendo que la propiedad es cierta para r = 1, es decir, que r³+ (r+1) ³+ (n+2) ³ es divisible por 9.

n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³ = a, a entre 9 es igual a (x) y el resto es igual a 0.

Hay que probar que se cumple para r = r + 1.

(n + 1) ³ + (n + 2) ³+ (n + 3) ³ = (n + 1) ³ + (n + 2) ³ + n³ + 9n² + 27n + 27 =

= [n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³] + 9(n² + 3n + 3) = 9a + 9(n²+ 3n + 3)

Que es múltiplo de 9, y la propiedad es cierta para n = n+1. Entonces, por el principio de inducción Matemática, la propiedad es verdadera para cualquier número natural.

Resuelto por Roberto Alonso, 4ºESO B