Principio de inducción. Ejercicio 15

Noé nos resuelve el ejercicio 15

Demuestra que:

siendo a > 0

1º Compruebo que se cumple para n=1

Sustituimos por n=1, y comprobamos que la inecuación se cumple:

(1+a)^1 ≥ 1+a

1+a ≥ 1+a

y también para n=2

(1+a)²≥1+2a

1+2a + a²≥ 1+2a porque a > 0 así que a^2 > 0

Como se cumple, continuamos con nuestro ejercicio.

2º Suponemos que se cumple para n, y demostramos n+1

Sustituimos las n de la fórmula por n+1 y buscamos una forma de comprobar que se cumple.

- Podemos resolverlo de dos formas:

Procedimiento 1.- La suma en el exponente es igual a un producto con la misma base, así que:

Sabemos que así que tenemos que comparar (1+a) y a. Como por el enunciado a > 0, entonces 1+a>a obligatoriamente.

Por lo que al ser , y (1+a) > a; esto implica que es verdad que

Procedimiento 2.-

Sabemos que , por lo que (porque al ser, si multiplicamos un número cualquiera como en un lado de la inecuación, habrá que hacerlo en el otro.)

· Operamos estos dos: =

· Sacamos factor común a de los dos términos del medio

· , por lo que al ser mayor o igual que , que era mayor o igual que , va a ser aún mayor o igual que . De forma que queda demostrado por principio de inducción con n+1.

Resuelto por Noé Carabias, 4ºESO C

Principio de Inducción. Ejercicio 16

Celia nos ayuda a resolver el ejercicio 16
-Demuestra que para cualquier n se cumple que:

1º.) Demostramos que se cumple para n=1
n=1 (Sustituimos la "n” por 1)

(Comprobamos que es correcto)
-----------
n=2 (Sustituimos la “n” por 2)

(Comprobamos que es correcto)
----------
n=3 (Sustituimos la “n” por 3)

(Comprobamos que es correcto)
2º) Suponemos que es verdad para “n” y lo demostramos para “n+1”
- Para ello, en el lado derecho de la igualdad, sustituimos la “n” por “n+1”. En el lado izquierdo, también sustituimos la “n” por “n+1” y añadimos el número combinatorio

Sustituimos la “n” por “n+1”              Añado         Sustituimos la “n” por “n+1”

*Aplico la propiedad de los números combinatorios:

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- Ejemplos


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(Finalmente, mediante el principio de inducción, comprobamos que también se cumple la igualdad para “n+1”)
Celia González Moreno (4ºC-E.S.O.)

Principio de Inducción. Ejercicio 21

Álvaro nos resuelve el ejercicio 21

21._Demuestra, usando el principio de inducción matemático que para cualquier número se cumple:

(expresamos que es múltiplo de 9 porque es 9 por un número desconocido “p”)

1º Compruebo que se cumple para n=1

se cumple

se cumple

2º Suponiendo que se cumple para n y es verdad demuestro que también para n+1.

Ahora es el momento de despejar:

Si nos fijamos en la primera igualdad que nos dan podemos despejar 2n:

Una vez despejado el 2n lo único que hay que hacer es sustituir por donde ibamos, es decir, nos hemos quedado aquí:

Pues lo único que hay que hacer es sustituir 2n por lo que nos ha dado antes al despejarlo y nos queda:

Seguimos operando y nos queda que:

A continuación sacamos factor común

Ya hemos demostrado que es múltiplo de 9.

C.Q.D