2º ESO Potencias y fracciones

Para los alumnos de 2º ESO que quieran complementar los ejercicios de castillos, os dejo el enlace para descargarlo.

Principio de inducción. Ejercicio 12

Alejandro nos resuelve el ejercicio 12

 

Demuestra que la suma a_n= es divisible por 133 cualquiera que sea el nº entero n>=0

→

1) Compruebo que da para n=1

3059=133 x p

P=

Compruebo que da para n=2

263473=133 x p

P=1981

2) Supongo que se cumple para cualquier n y demuestro que también para n+1

* 11 – 11*

133p *11 +

133p* 11 +

133p* 11 +

133(p * 11 + )

QUEDA DEMOSTRADO QUE ES MÚLTIPLO.

Resuelto por Alejandro Fernández, 4ºESO B

Principio de inducción. Ejercicio 7

Roberto nos resuelve el problema 7:

7. Demostrar que para cualquier número natural n,la suma de tres números sucesivos elevados al cubo sea divisible entre 9.

Compruebo para n = 1.

1³ + 2³+ 3³ =1+8+27= 36 que es divisible por 9

Y, suponiendo que la propiedad es cierta para r = 1, es decir, que r³+ (r+1) ³+ (n+2) ³ es divisible por 9.

n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³ = a, a entre 9 es igual a (x) y el resto es igual a 0.

Hay que probar que se cumple para r = r + 1.

(n + 1) ³ + (n + 2) ³+ (n + 3) ³ = (n + 1) ³ + (n + 2) ³ + n³ + 9n² + 27n + 27 =

= [n³ + (n + 1) ³ + (n + 2) ³] + 9(n² + 3n + 3) = 9a + 9(n²+ 3n + 3)

Que es múltiplo de 9, y la propiedad es cierta para n = n+1. Entonces, por el principio de inducción Matemática, la propiedad es verdadera para cualquier número natural.

Resuelto por Roberto Alonso, 4ºESO B

Principio de Inducción. Ejercicio 2

Nacho nos explica como resolver el ejercicio 2

Demostrar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a:

1- Demuestro que se cumple para n=1

n=1 1²=1

n=2

n=3

2- Como suponemos que es verdad comprobamos demostrando con n+1

Iremos por partes:

Empecemos con la parte sin fracción:

Por lo que queda:

Hacemos el mcm (mínimo común múltiplo) de los denominadores que da seis

Resolvemos paréntesis

El resultado de una de las partes de la ecuación es : . vamos a resolver la otra parte de la ecuación y si nos da igual que esta la formula se cumple

Empecemos resolviendo los paréntesis:

Como en el mcm da seis al dividir 6:6 da 1 y el uno lo multiplicamos por toda la expresión

Como da lo mismo se cumple la formula

CQD (como queda demostrado)

Realizado por Nacho Oquillas, 4ºESO C 

Principio de Inducción. Ejercicio 1

Miguel nos explica el ejercicio 1:

Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que:

1º Comprobamos que se cumple para n=1

n= 1 → 1=1

n=2 → 2=2

2º Suponemos que es verdad paran n y demuestro también es para n+1

↓

↓

↓

↓

C.Q.D (Se cumple)

Realizado por Miguel Ribeiro, 4ºESO B

Principio de inducción. Ejercicio 15

Noé nos resuelve el ejercicio 15

Demuestra que:

siendo a > 0

1º Compruebo que se cumple para n=1

Sustituimos por n=1, y comprobamos que la inecuación se cumple:

(1+a)^1 ≥ 1+a

1+a ≥ 1+a

y también para n=2

(1+a)²≥1+2a

1+2a + a²≥ 1+2a porque a > 0 así que a^2 > 0

Como se cumple, continuamos con nuestro ejercicio.

2º Suponemos que se cumple para n, y demostramos n+1

Sustituimos las n de la fórmula por n+1 y buscamos una forma de comprobar que se cumple.

- Podemos resolverlo de dos formas:

Procedimiento 1.- La suma en el exponente es igual a un producto con la misma base, así que:

Sabemos que así que tenemos que comparar (1+a) y a. Como por el enunciado a > 0, entonces 1+a>a obligatoriamente.

Por lo que al ser , y (1+a) > a; esto implica que es verdad que

Procedimiento 2.-

Sabemos que , por lo que (porque al ser, si multiplicamos un número cualquiera como en un lado de la inecuación, habrá que hacerlo en el otro.)

· Operamos estos dos: =

· Sacamos factor común a de los dos términos del medio

· , por lo que al ser mayor o igual que , que era mayor o igual que , va a ser aún mayor o igual que . De forma que queda demostrado por principio de inducción con n+1.

Resuelto por Noé Carabias, 4ºESO C