Principio de inducción. Ejercicio 15

Noé nos resuelve el ejercicio 15

Demuestra que:

siendo a > 0

1º Compruebo que se cumple para n=1

Sustituimos por n=1, y comprobamos que la inecuación se cumple:

(1+a)^1 ≥ 1+a

1+a ≥ 1+a

y también para n=2

(1+a)²≥1+2a

1+2a + a²≥ 1+2a porque a > 0 así que a^2 > 0

Como se cumple, continuamos con nuestro ejercicio.

2º Suponemos que se cumple para n, y demostramos n+1

Sustituimos las n de la fórmula por n+1 y buscamos una forma de comprobar que se cumple.

- Podemos resolverlo de dos formas:

Procedimiento 1.- La suma en el exponente es igual a un producto con la misma base, así que:

Sabemos que así que tenemos que comparar (1+a) y a. Como por el enunciado a > 0, entonces 1+a>a obligatoriamente.

Por lo que al ser , y (1+a) > a; esto implica que es verdad que

Procedimiento 2.-

Sabemos que , por lo que (porque al ser, si multiplicamos un número cualquiera como en un lado de la inecuación, habrá que hacerlo en el otro.)

· Operamos estos dos: =

· Sacamos factor común a de los dos términos del medio

· , por lo que al ser mayor o igual que , que era mayor o igual que , va a ser aún mayor o igual que . De forma que queda demostrado por principio de inducción con n+1.

Resuelto por Noé Carabias, 4ºESO C