Principio de Inducción. Ejercicio 5

5. Demuestra que la suma de los primeros n números impares es

1º) Primero comprobamos que se cumple para n=1.

Probamos con n=1

n=1 → 1=1 → SE CUMPLE. Podemos observar que al sustituir la n por 1, el resultado es el mismo que el primero número impar. Entonces, se cumple para n=1.

Probemos con n=2, a ver si también se cumple.

n=2→ 1+3=4

==4 También se cumple. Al sumar los dos primeros números impares, el resultado es igual que . Al sustituir por n=2, sería , que resulta ser 4. Entonces, el resultado de es igual a la suma de los dos primeros números impares.

Con n=3 ocurre lo mismo. Se suman los tres primeros números impares, y la se sustituye por 3.

n=3 → 1+3+5=9

==9

Se cumple.

2º) Suponiendo que se cumple para n, demostramos que también lo hace para n+1.

= sucesión de nº impares.

Lo podríamos demostrar directamente sabiendo que la sucesión de los números impares se trata de una sucesión aritmética.

=1

=3

=9

Utilizando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética.

No obstante, ahora lo demuestro también por inducción:

Supongo que es cierto para los primeros n términos:

y trato de demostrar que se cumple para n+1:

operando:

Como
, sustituyo y me queda:

El primer término de la igualdad se corresponde con el resultado de una igualdad notable, el binomio al cuadrado, por lo que efectivamente, da

c.q.d.

Resuelto por Paula Maldonado, 4ºESO C