Principio de inducción. Ejercicio 9

Los alumnos de 4ºESO de Ampliación nos ayudan a resolver los ejercicios de demostraciones utilizando el principio de inducción. Blanca nos resuelve el ejercicio 9:

EJERCICIO 9:

1² + 3² + 5² + 7² + 9² +…………..+ (2n-1)² =

1º - Simplificamos la ecuación de la derecha de la igualdad, para simplificar los cálculos.

Vemos que en el numerador hay una ecuación del tipo (a+ b)*(a-b), sabemos que es una igualdad notable que es igual a (a²+b²). Sustituimos por este valor y realizamos la operación para que quede más reducido.

= = =

Con lo que la ecuación nos queda de la siguiente forma:

1² + 3² + 5² + 7² + 9² +…………..+ (2n-1)² =

2º - Comprobamos que la ecuación se cumple para distintos valores de ‘n’.

n = 1

Como ‘n’ es igual a 1, nos quedamos sólo con ‘a₁’. Es decir, sólo el primer término de la sucesión.

Y en el otro lado de la igualdad, sustituimos el valor de la ‘n’ por 1.

1² = ; 1² = ; 1² = ; 1 = 1

Vemos que se cumple la ecuación para ‘n=1’.

Vamos a comprobar si se cumple para ‘n=2’.

n = 2

Tomamos los 2 primeros términos de la sucesión ‘a₁’ y ‘a₂’ y vamos a comprobar si su suma es igual al resultado de sustituir la ‘n’ por ‘2’ en la ecuación del otro lado de la igualdad.

1² + 3² = ; 1² + 3² = ; 1 + 9 = ; 10 = ; 10 = 10

Vemos que también se cumple la ecuación para ‘n=2’.

Seguimos con las comprobaciones y vamos a probar si se cumple para ‘n=3’.

n = 3

Tomamos los 3 primeros términos de la sucesión ‘a₁’, ‘a₂’ y ‘a₃’ y vamos a comprobar si su suma es igual al resultado de sustituir la ‘n’ por ‘3’ en la ecuación del otro lado de la igualdad.

1² + 3² + 5² = ; 1 + 9 + 25 = ; 35 = ; 35 = ; 35 = 35

También se cumple la ecuación para ‘n=3’.

3º - Realizamos una hipótesis sobre el cumplimiento de la ecuación para ‘n’.

Podríamos seguir probando con los distintos valores de ‘n’, pero si se ha cumplido para n=1, n=2 y n=3, podemos suponer que se cumple para ‘n’.

4º - Comprobamos si la ecuación también se cumple para valores mayores que ‘n’ y para ello vamos a probarlo con ‘n+1’.

En uno de los lados de la igualdad tenemos una suma de ‘n’ números impares al cuadrado. Para realizar la comprobación con ‘n+1’ tenemos que añadir un sumando más, que será el resultado de sustituir en el último término (2n-1) ² el valor de la ‘n’ por ‘n+1’.

En el otro lado de la igualdad, tenemos una ecuación donde hay que sustituir el valor de ‘n’ por ‘n+1’.

1² + 3² + 5² + 7² + 9² +…………..+ (2n-1)² + (2(n+1)-1)² =

			+ (2(n+1)-1)²		=

 

Realizamos operaciones en cada lado de la igualdad para reducir al máximo las expresiones.

Primero quitamos los paréntesis internos:

+ (2n+2-1)² =

Seguimos operando para eliminar todos los paréntesis:

+ (2n+1)² = ;

Aplicamos la igualdad notable (a + b)²= a²+2ab+b:

+ (4n²+4n+1) =

x n + 1 n² + 2n + 1 n³ + 2n² + n ……. n³ + 3n² + 3n + 1

Realizamos la multiplicación

Sustituimos el resultado y seguimos operando.

+ (4n²+4n+1) =

+ (4n²+4n+1) =

+ (4n²+4n+1) =

Calculamos el mcm (mínimo común múltiplo) para que todo tenga el mismo denominador y seguimos realizando operaciones.

m.c.m. = 3

+ =

+ =

		=
	Son iguales.

Hemos comprobado que también se cumple para ‘n+1’.

Por el  Principio de la Inducción, podemos asegurar que se cumple la igualdad.

Resuelto por Blanca Minguito.