Principio de inducción. Ejercicio 9

Los alumnos de 4ºESO de Ampliación nos ayudan a resolver los ejercicios de demostraciones utilizando el principio de inducción. Blanca nos resuelve el ejercicio 9:

EJERCICIO 9:

1² + 3² + 5² + 7² + 9² +…………..+ (2n-1)² =

1º - Simplificamos la ecuación de la derecha de la igualdad, para simplificar los cálculos.

Vemos que en el numerador hay una ecuación del tipo (a+ b)*(a-b), sabemos que es una igualdad notable que es igual a (a²+b²). Sustituimos por este valor y realizamos la operación para que quede más reducido.

= = =

Con lo que la ecuación nos queda de la siguiente forma:

1² + 3² + 5² + 7² + 9² +…………..+ (2n-1)² =

2º - Comprobamos que la ecuación se cumple para distintos valores de ‘n’.

n = 1

Como ‘n’ es igual a 1, nos quedamos sólo con ‘a₁’. Es decir, sólo el primer término de la sucesión.

Y en el otro lado de la igualdad, sustituimos el valor de la ‘n’ por 1.

1² = ; 1² = ; 1² = ; 1 = 1

Vemos que se cumple la ecuación para ‘n=1’.

Vamos a comprobar si se cumple para ‘n=2’.

n = 2

Tomamos los 2 primeros términos de la sucesión ‘a₁’ y ‘a₂’ y vamos a comprobar si su suma es igual al resultado de sustituir la ‘n’ por ‘2’ en la ecuación del otro lado de la igualdad.

1² + 3² = ; 1² + 3² = ; 1 + 9 = ; 10 = ; 10 = 10

Vemos que también se cumple la ecuación para ‘n=2’.

Seguimos con las comprobaciones y vamos a probar si se cumple para ‘n=3’.

n = 3

Tomamos los 3 primeros términos de la sucesión ‘a₁’, ‘a₂’ y ‘a₃’ y vamos a comprobar si su suma es igual al resultado de sustituir la ‘n’ por ‘3’ en la ecuación del otro lado de la igualdad.

1² + 3² + 5² = ; 1 + 9 + 25 = ; 35 = ; 35 = ; 35 = 35

También se cumple la ecuación para ‘n=3’.

3º - Realizamos una hipótesis sobre el cumplimiento de la ecuación para ‘n’.

Podríamos seguir probando con los distintos valores de ‘n’, pero si se ha cumplido para n=1, n=2 y n=3, podemos suponer que se cumple para ‘n’.

4º - Comprobamos si la ecuación también se cumple para valores mayores que ‘n’ y para ello vamos a probarlo con ‘n+1’.

En uno de los lados de la igualdad tenemos una suma de ‘n’ números impares al cuadrado. Para realizar la comprobación con ‘n+1’ tenemos que añadir un sumando más, que será el resultado de sustituir en el último término (2n-1) ² el valor de la ‘n’ por ‘n+1’.

En el otro lado de la igualdad, tenemos una ecuación donde hay que sustituir el valor de ‘n’ por ‘n+1’.

1² + 3² + 5² + 7² + 9² +…………..+ (2n-1)² + (2(n+1)-1)² =

			+ (2(n+1)-1)²		=

 

Realizamos operaciones en cada lado de la igualdad para reducir al máximo las expresiones.

Primero quitamos los paréntesis internos:

+ (2n+2-1)² =

Seguimos operando para eliminar todos los paréntesis:

+ (2n+1)² = ;

Aplicamos la igualdad notable (a + b)²= a²+2ab+b:

+ (4n²+4n+1) =

x n + 1 n² + 2n + 1 n³ + 2n² + n ……. n³ + 3n² + 3n + 1

Realizamos la multiplicación

Sustituimos el resultado y seguimos operando.

+ (4n²+4n+1) =

+ (4n²+4n+1) =

+ (4n²+4n+1) =

Calculamos el mcm (mínimo común múltiplo) para que todo tenga el mismo denominador y seguimos realizando operaciones.

m.c.m. = 3

+ =

+ =

		=
	Son iguales.

Hemos comprobado que también se cumple para ‘n+1’.

Por el  Principio de la Inducción, podemos asegurar que se cumple la igualdad.

Resuelto por Blanca Minguito.

Principio de inducción. Ejercicio 4

Los alumnos de 4ºESO de Ampliación nos ayudan a resolver los ejercicios de demostraciones utilizando el principio de inducción. Comienza Úrsula con el ejercicio 4:

Ejercicio 4. Demuestra que para cualquier número natural n≥4 se cumple que

1º Para empezar comprobamos que se cumple para n=4 porque como el enunciado dice, el número tiene que ser n≥4 (mayor e igual que cuatro).

16<24 Se cumple

Se cumple

Se cumple

Es verdad

2º Como vemos que es verdad para n≥4 , lo demostramos que también para se cumple para n+1. Sustituimos por n+1 y nos queda

→Porque es más pequeño que n!, lo hemos demostrado en el 1º paso y 2 es más pequeño que (n+1) por lo tanto si multiplicamos es menor que si multiplicamos (n+1)∙n! porque n siempre va a ser mayor o igual que cuatro.

Resuelto por Úrsula San Juan. 4ºESO

Ejercicios del Principio de Inducción

Aquí tenéis los enunciados de los ejercicios del Principio de Inducción.

1. Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que:

2. Demuestra que la suma de los cuadrados de los n primero números naturales es igual a:

3. Demuestra que para cualquier número natural n se cumple que n³ -n es divisible por 6

4. Demuestra que para cualquier número natural n >= 4 se cumple que 2ⁿ < n!

5. Demostrar que la suma de los primeros n números impares es S_n = n².

6. Calcular la suma de S_n = 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n!. Demostrar que vale S_n = (n + 1)! - 1.

7. Demostrar que la suma de los cubos de tres números naturales sucesivos es divisible por 9

8. Demuestra que:

9. Demuestra que:

10. Demuestra que:

11. Demuestra que:

12. Demuestra que la suma A_n = 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ es divisible por 133 cualquiera que sea el número entero n>= 0.

13. Demuestra que para cualquier número natural n ∈ N se cumple que

14. Demuestra que para cualquier n ∈ N el número
es múltiplo de 17

15. Demuestra que, siendo a>0, para cualquier número natural se cumple que: 

16. Demuestra que para cualquier número natural n ∈ N se cumple que:

17. Demuestra, usando el principio de inducción matemática, que para cualquier número natural n ∈ N se cumple

18. Demuestra, usando el principio de inducción matemática, que para cualquier número natural n ∈ N se cumple

19. Demuestra, usando el principio de inducción matemática, que para cualquier número natural n ∈ N se cumple

20. Demuestra, usando el principio de inducción matemática, que para cualquier número natural n ∈ N se cumple 7ⁿ-1 es divisible por 6

21. Demuestra, usando el principio de inducción matemática, que para cualquier número natural n ∈ N se cumple 2²ⁿ+15n-1 es múltiplo de 9

22. Demuestra, usando el principio de inducción matemática, que para cualquier número natural n ∈ N se cumple2²ⁿ>n²